Бюджетное множество
Бюджетное множество — понятие, используемое в микроэкономике (в теории потребительского поведения), обозначающее подмножество множества допустимых альтернатив (потребительских наборов) с учётом экономических (бюджетных) ограничений, под которыми понимаются ограничения расходов потребителя его доходами и (или) первоначальными запасами экономических благ.
Формальное определение
Пусть [math]\displaystyle{ X }[/math] — множество (потенциально) допустимых альтернатив (потребительских наборов), [math]\displaystyle{ p }[/math] — неотрицательный вектор цен экономических благ, [math]\displaystyle{ R }[/math] — доход потребителя. Тогда бюджетное множество определяется как множество альтернатив [math]\displaystyle{ x \in X }[/math], для которых выполнено неравенство [math]\displaystyle{ px \leqslant R }[/math], то есть:
[math]\displaystyle{ B(p,R)=\{x \in X|px \leqslant R \} }[/math]
Бюджетное ограничение может быть связано с начальным запасом благ [math]\displaystyle{ x_0 }[/math], то есть доходом в данном случае может быть только доход от продажи каких-то начальных запасов. Тогда бюджетное множество определяется следующим образом:
[math]\displaystyle{ B^*(p,x_0)=\{x \in X|px \leqslant px_0 \}=\{x \in X|p(x-x_0) \leqslant 0 \} }[/math]
То есть стоимость покупок не превышает стоимость продаж.
Естественно, возможно также совмещение, то есть доход может быть как внешним, так и связанным с начальными запасами.
Свойства
В первую очередь бюджетные множества предполагаются непустыми. В случае бюджетного множества [math]\displaystyle{ B(p,R) }[/math] для этого достаточно, чтобы доход [math]\displaystyle{ R }[/math] был больше минимально необходимого для приобретения хотя бы одного допустимого набора, то есть [math]\displaystyle{ R\gt \inf_{x \in X} px }[/math]. В случае бюджетного множества [math]\displaystyle{ B^*(p,x_0) }[/math] это условие означает лишь то, что начальный вектор принадлежит допустимому множеству [math]\displaystyle{ X }[/math], что изначально предполагается.
Бюджетное множество является замкнутым, ограниченным) и выпуклым множеством. Для ограниченности формально необходимо (и достаточно), чтобы вектор цен был строго больше нуля (то есть все цены должны быть положительными). Замкнутость и ограниченность бюджетного множества обеспечивают существование решения задачи потребителя (см. ниже).
Бюджетное множество [math]\displaystyle{ B(p,R) }[/math] является «однородным нулевой степени», то есть если цены и доход умножить на одно и то же число, то получим то же бюджетное множество. В случае бюджетного множества [math]\displaystyle{ B^*(p, x_0) }[/math] это означает «однородность нулевой степени» по вектору цен.
При фиксированном векторе цен бюджетное множество с меньшим доходом является подмножеством бюджетного множества с большим доходом. При фиксированном доходе бюджетное множество с большими ценами является подмножеством бюджетного множества с меньшими ценами.
Задача потребителя
Бюджетное множество используется в так называемой прямой (маршаллианской) задаче потребителя, заключающейся в максимизации функции полезности [math]\displaystyle{ u(x) }[/math] на бюджетном множестве альтернатив [math]\displaystyle{ B }[/math]:
[math]\displaystyle{ \begin{cases} u(x) \rightarrow \max \\ x \in B \subset X \end{cases} }[/math]
В частности, для бюджетного ограничения по доходу задача имеет вид:
[math]\displaystyle{ \begin{cases} u(x) \rightarrow \max \\ px \leqslant R, x \in X \end{cases} }[/math]
При непрерывной функции полезности с учётом свойств компактности (ограниченности и замкнутости) бюджетного множества задача потребителя всегда имеет решение.
См. также
Литература
- Бусыгин В.П., Е.В. Желободько, А.А. Цыплаков. Микроэкономика - третий уровень. — Новосибирск, 2003.
- Черемных Ю.Н. Микроэкономика. Продвинутый уровень. — М.: ИНФРА-М, 2008. — 844 с.(Учебники экономического факультета МГУ и. М.В. Ломоносова)
- Фридман А. А. Лекции по курсу микроэкономики продвинутого уровня. — М.: Издательский дом ГУ ВШЭ, 2007. — ISBN 978-5-7598-0335-5.
